الجذر

في الرياضيات، هو المقدار الذي ينتج مقدارًا معينًا إذا ضُرِبَ

في نفسه، عددًا مُعيَّنا من المرات بوصفه عاملاً. انظر: العامل الحسابي. وعدد المرات التي يؤخذ فيها الجذر بوصفه عاملاً يُطلق عليه الدليل . وتسمى الجذور بحسب أدلتها. وعلى ذلك ، فإن 3 هي الجذر الرابع للعدد 81 لأن 3 × 3 × 3 × 3 = 81. ويطلق على الجذور ذات الأدلة 2 ، 3 اسم الجذر التربيعي ، والجذر التكعيبي على الترتيب. والجذر النوني الموجب لرقم ب يمكن تمثيله بالشكل ن¬ ب وبـذلك يكـون 4 ¬ 81 = 3. ويُسمَّى الرمز ¬ علامة الجذر . وعندما لا يُكتب رقم الدليل يكون الدليل

هو 2.

والجذر في علم الجَبْر هو حل معادلة ما – أي أنه المقدار الذي يحل المعادلة عندما يعوض به عن المتغير في المعادلة. فمثلاً : 3 هي جذر س + 2 = 5، لأنه إذا حلت 3 محل المتغير س، تكون المعادلة صحيحة كالآتي :

3 + 2 = 5.

الجذر التربيعي

الجذر التربيعي للعدد، هو عدد ثان حاصل ضربه في نفسه يعطي الرقم الأصلي. فمثلا، الجذر التربيعي للعدد 4 هو 2 حيث إن 2×2= 4. ورمز الجذر التربيعي ¬ ويسمى علامة الجذر. فمثلاً ¬25 = 5 ، ¬4 = 2. والرقم السالب -2 هو أيضًا جذر تربيعي للعدد 4 حيث إن ـ2 × – 2 = 4 . وكل رقم موجب له جذر تربيعي موجب وسالب، وهذان الجذران التربيعيان لهما دائما القيمة العددية نفسها.

إيجاد الجذور التربيعية. أسهل وأسرع طريقة لإيجاد الجذر التربيعي للرقم، استخدام الآلة الحاسبة، وهي متاحة في طرز في حجم الجيب، وتجعل العمليات الحسابية الطويلة المرهقة تتم بسرعة وسهولة. وتمكن الألة الحاسبة مستخدمها من استخراج الجذور التربيعية بمجرد الضغط البسيط على المفاتيح المناسبة. انظر: الآلة الحاسبة.

وهناك طريقة مريحة أخرى لإيجاد الجذر التربيعي للرقم هي استخدام جدول الجذور التربيعية أو جدول المربعات أو جدول اللوغاريتمات، وتعطي هذه الجداول ـ في حالة توافرها ـ الجذر التربيعي بسرعة، وتستغرق وقتا قصيرا في تعلم كيفية استخدامها بكفاءة. كذلك توجد وسيلة أخرى تسمى المسطرة المنزلقة التي تعد أداة نافعة في استخراج الجذور التربيعية، إلا أن معظمها يعطي فقط الجذور التربيعية للأعداد المكونة من ثلاثة أرقام. انظر: اللوغاريتمات؛ المسطرة المنزلقة.

ومن الممكن حساب الجذور التربيعية بدقة دون مساعدة الأدوات. والطريقة المشروحة هنا تتطلب إجراء عمليات القسمة واستخراج المتوسطات. وهي سهلة سواء في التعلم أو في التطبيق.

ولاستخراج الجذر التربيعي للعدد 40، حدّد أولا أقرب عدد صحيح إلى 40. وحيث إن 6 × 6 = 36، 7 × 7 = 49 فإنه يبدو أن الرقم 6 هو الرقم المناسب.

ابدأ حساب الجذر التربيعي للرقم 40 بالرقم 6؛ اقسم 40 علي 6 ؛ 40 – 6 = 6,6 (لأقرب حبر عشري). لاحــظ أن 6 × 6,6 = 39,6 أو (حوالي 40) والآن استخرج متوسط 6 ، 6,6 : .5 × (6 + 6,6) = 6,3، و6,3 × 6,3 = 39,69) وهي الأقرب إلى 40.

كرر العملية نفسها للوصول إلى دقة أكبر: أولا: اقسم 40 على 6,3 : 40 – 6,3 = 6,349 ثم استخرج متوسط 3,6، 6,349 : 0,5× (3,6 + 6,349) = 6,325. وبتكرار العملية للمرة الثالثة نجد أن 40 – 6,325 = 6,3241106، وأن .0,5× (6,325 + 6,3241106) = 6,3245553، ويمكن تكرار هذه العملية إلى مالا نهاية. وفي كل عملية تقريب للجذر التربيعي يجب الاحتفاظ بضعف عدد الأرقام المحتفظ بها في التقريب السابق.

لاحظ أن 40 تقع بين 1 و 100. وإذا كان المطلوب إيجاد الجذر التربيعي لرقم خارج نطاق من 1 إلى 100:

أولا اقسم أو اضرب الرقم × 100 لجعله داخل هذا النطاق. لنفترض مثلا أننا نريد استخراج الجذر التربيعي للرقم 400,000 أو ¬400,000 اقسم 400,000 مرتين على 100 فيكون خارج القسمة 40، أي رقم يقع في نطاق 1 إلى 100، ثم قبل ذلك قم بتحديد الجذر التربيعي للرقم 40 : ¬40 = 6,3245553. والآن اضرب الجذر التربيعي للرقم 40 مرتين × 10 (الجذر التربيعي للرقم 100) للحصول على الجذر التربيعي للرقم 400,000: 6,3245553 × 10 × 10 = 632,45553 وبالطريقة نفسها. ¬0,4 = 0,63245553 ويمكن إيجاد الجذر التربيعي 4,0 بالضرب في 100 للحصول على الجذر التربيعي للرقم 40 وقسمته على 10.

الجذر التربيعي للأرقام السالبة. ما الجذر التربيعي للرقم ـ4 ؟ أو ما الرقم الذي إذا ضرب في نفسه كان الناتج ـ4 ؟ إذا كان هناك مثل هذا الرقم فلا يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا لأن أيًا من هذه الأرقام إذا ضرب في نفسه لا يمكن أن يكون الناتج رقمًا سالبًا. ولكن لتوفير بعض السهولة في حل مشاكل معينة ابتكر علماء الرياضيات نظامًا ذا أعداد خيالية خالصة جذورها التربيعية أرقام سالبة.





الجَذْر التكعِيبي

واحد من ثلاثة عوامل متساوية لعدد ما. انظر: العامل الحسابي.

وإذا ضُرِب هذا العدد (م) في نفسه ثلاث مرات فإنه يُكوّن الجَذْر التكعِيبي لعدد آخر (ن) . وهكذا م × م × م = ن.

فالعدد 2 مثلاً هو الجذر التكعيبي للعدد 8 لأن 2×2×2 = 8 و – 5 هو الجذر التكعيبي للعدد (-125). لأن -5 × -5 × -5 = – 125.

والعدد الصحيح له أيضا جذر تكعيبي صحيح واحد، وقد يكون موجبًا أو سالبًا متطابقًا في ذلك مع الإشارة الموجبة أو السالبة للعدد. ويوضع رمز آخر أمام العدد ليوضح أن المطلوب هو استخراج جَذْرِه أو تحديده. وهذا الرمز يُكتب هكذا ¬ ويسمى علامة الجذر. وإذا كان الجذر المراد استخراجه جذرًا تكعيبيًا فإن عددًا صغيرًا 3 يوضع فوق علامة الجذر. إذن §¬8 تعني أن المطلوب هو استخراج الجذر التكعيبي للعدد 8.

استخراج الجذر التكعيبي باستعمال الجداول. لعل أسهل طريقة لإيجاد الجذر التكعيبي هي استعمال جداول الجذر التكعيبي أو جداول اللوغاريتمات. وتمدنا هذه الجداول بإجابات صحيحة دون الخوض في عمليات حسابية مملة. وليست لهذه الأعداد في الغالب جذور تكعيبية دقيقة وتكون الجداول مفيدة في هذه الحالات بصفة خاصة.

إيجاد الجذر التكعيبي حسابيا. قد تكون الجداول متوافرة أحيانا وقد تكون غير متوافرة إلا أنها غير دقيقة بما فيه الكفاية لحالة بعينها. وفي مثل هذه الحالة على الشخص أن يجري عملياته الحسابية بنفسه.

وهناك طريقة تعرف بطريقة نيوتن وهي طريقة يسهل تطبيقها باستخدام الآلة الحاسبة. وتُتبع هذه الطريقة لإيجاد الجذر التكعيبي لأي عدد من 1 إلى 1000. فعلى سبيل المثال: قد يرغب شخص في إيجاد الجذر التكعيبي لـ200. وبما أن 5 × 5 × 5 = 125و 6 × 6 × 6 = 216 فمن اليسير أن نتبين أن 6 هو أقرب جذر تكعيبي صحيح للعدد 200. ويمكن إيجاد التقدير التقريبي للجذر التكعيبي بإن نقسم العدد 200 على مربع 6 أي 6 × 6 الذي يساوي 36. وإذا قربت هذا إلى أقرب نسبة عشرية يكون الحاصل 6,5 وهكذا فإن 6 × 6 × 6,5 يساوي 200 تقريبا.

ولكي تحصل على التقريب الثاني للجذر التكعيبي للعدد 200 أوجد متوسط العوامل الثلاثة 6و6و6,5 وهذا يعطيك:

(6 + 6 + 6,5) ÷ 3 = 5,9

كرّر هذه العملية حتى تحصل على عدد أقرب إلى الجذر التكعيبي من الأعداد السابقة.

وهكذافإن

200 ÷ (5,9 × 5,9 ) = 200 ÷ 34,81 = 5,74

وتحصل على التقريب التالي هكذا:

(5,9 + 5,9 + 5,74) ÷ 3 = 5,85 وعند إعادة العملية مرة أخرى يكون الحاصل 200 ÷ (5,85 × 5,85) = 200 ÷ 34,2225 = 5,8441

وهذا يعطيك التقريب التالي هكذا:

(5,85 + 5,85 + 5,8441) ÷ 3 = 5,8480.

ويمكن الاستمرار في هذه العملية إلى مالا نهاية وفي كل تقريب يلي التقريب الثاني يكون لديك عدد من الأرقام أقل برقم واحد من ضعف عدد الأرقام في التقريب السابق. فمثلا التقريب الثاني 9,5 يحتوي على رقمين ويحتوي الثالث على ثلاثة أرقام ويحتوي التقريب الرابع على خمسة أرقام .

وإذا كان العدد الذي ترغب في إيجاد مكعبه لا يقع بين 1 و 1000 فإنك إما أن تضربه أو تقسمه على التوالي على 1000 حتى يقع في هذا النطاق. وسيكون الجذر التكعيبي بين 1و10. وبعد إيجاد الجذر التكعيبي، عليك إما أن تضربه أو تقسمه على التوالي على العدد 10 وأن تكرر ذلك إذا لزم الأمر حتى تحصل على الجذر التكعيبي للعدد الأصلي.