الرئيسية
دور الحب
أحدث الصور
الأعداد النسبية
الهدف : التعرف إلى مفهوم العدد النسبي .
الخبرات السابقة : مجموعة الأعداد الطبيعية ، مجموعة الأعداد الصحيحة .
التمهيد :
العدد +4 عدد موجب مسبوق بإشارة ( + ) . نُسمي العدد ( +4 ) عدد طبيعي .
العدد ( -4 ) هو سالب العدد ( +4 ) . يقابل كل عدد طبيعي ( موجب ) عدد سالب يُسمى سالب العدد .
تُسمى الأعداد الطبيعية والأعداد السالبة المقابلة لها والصفر بالأعداد الصحيحة .
العدد 5 عددٌ صحيح يُمكننا كتابته على صورة حبر بسطُهُ عددٌ صحيح ( 5 ) ومقامُهُ عددٌ صحيح ( 1 )
نقول الحبر بسطُهُ عددٌ صحيح ( 5 ) ومقامُهُ عددٌ صحيح ( 1 ).
الحبر بسطُهُ عددٌ صحيح ( 3 ) ومقامُهُ عددٌ صحيح ( 4 ) .
وكذلك الحبر بسطُهُ عددٌ صحيح ( -2 ) ومقامُهُ عددٌ صحيح ( 4 ).
العدد النسبي
نُسمي العدد الذي يُمكن كتابته على صورة حبر بسطُهُ عددٌ صحيح ومقامُهُ عددٌ صحيح بالعدد النسبي .
يُكتب العدد النسبي على الصُّورةِ حيثُ أ ، ب عددانِ صحيحانِ ، ب ¹ صفراً.
...... | ، | ، | ، | ، |
مجموعة الأعداد النسبية هي المجموعة التي تشتمل على جميع الأعداد النسبية ، ونستخدم الرمز للدلالة عليها .
كلٌّ عدد صحيح هو عدد نسبي !
-2 ـ | ، | 5 ـ |
الأعداد النسبية التالية يمكن كتابتها على صورةعدد صحيح .
الأعداد النسبية التالية لايمكن كتابته على صورة عدد صحيح .
نقول :
كل عدد صحيح هو عدد نسبي ، ولكن ليس كل عدد نسبي هو عدد صحيح .
يكون العدد النسبي موجباً عندما تكون للعددين أ ، ب الإشارة نفسها .
يكون العدد النسبي سالباً عندما تكون إشارتا أ ، ب مختلفتين .
يكون العدد النسبي صفراً عندما تكون أ = صفراً .
يُمكن كتابة العدد النسبي في أبسط صورة
الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة التي هي مجموعة جزئية من الأعداد النسبية . |
النظير الضربي (مقلوب) العدد النسبي
العدد النسبي مكتوب على الصورة وفيه ( أ ، ب ¹ 0) وبالتالي نستطيع كتابة عدد نسبي آخر على الصورة وهو وكذلك العدد النسبي مكتوب على الصورة وفيه
نُسمي العدد النسبي ( أ ، ب ¹ 0 ) النظير الضربي (مقلوب) العدد النسبي
نُسمي العدد النسبي النظير الضربي (مقلوب) للعدد النسبي ... هكذا
|
|
|
حاصل ضرب أي عدد نسبي في مقلوبه ( نظيره الضربي ) = 1
= 1 | × | =1 | × |
الخبرات السابقة : المجموعات، مجموعة الأعداد الطبيعية، مجموعة الأعداد الصحيحة، مجموعة الأعداد النسبية.
التمهيد :
أولاً : حدِّد الإجابة الصحيحة
مجموعة الأعداد النسبية تحتوي على مجموعة الأعداد الطبيعية .
مجموعة الأعداد الصحيحة تحتوي على مجموعة الأعداد النسبية .
كل عدد صحيح هو عدد ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية .
كل عدد طبيعي هو عدد ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .
ثانياً : كيف تُعرِّف العدد النسبي ؟
حيث أ ، ب | العدد النسبي هو ذلك العدد الذي يمكن أن نضعه على صورة حبر |
عددان ... ؟ وبشرط أنَّ ب ¹ (لا تساوي) ..... ؟
ثالثاً : لنأخذ العدد 16 كمثال
العدد 16 هو عدد طبيعي .
والعدد 16 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .
أي | وكذلك فإن العدد 16 هو عدد نسبي يمكن كتابته على الصورة |
حسناً ..
عند دراستك لموضوع الجذر التربيعي ، تم تركيز الانتباه والأمثلة على الأعداد النسبية الموجبة من النوع المسمى المربعات الكاملة ، أي الأعداد التي يمكن وضعها على الصورة (ب)2 مثل :
9 = (3)2 ، 64 = (
2 ، 25 = (5)2طبعاً هنا ، الجذور التربيعية لهذه الأعداد تكون دائماً أعداداً نسبية
... الخ | ، | ، |
ولكن هل غالبية الأعداد النسبية هي مربعات كاملة ؟
ماذا تقول مثلاً عن الأعداد : 2 ، 6 ، 11 ، 15 ...
وماذا عن الجذور التربيعية لهذه الأعداد النسبية ؟
هل هي أعداد نسبية ؟؟
، | ، |
إن مثل هذه الجذور التربيعية لا تكون أعداداً نسبية لماذا ؟؟
لأننا مهما بحثنا لن نجد عدداً نسبياً مربعه هو العدد 2 أو العدد 6 وكذلك العدد 10 ... وهكذا .
أعداداً غير نسبية . |
| نُسمي |
رابعاً : لنأخذ العدد 64 كمثال هنا
نقول أن العدد 64 هو عدد نسبي من النوع المسمى بالمربع الكامل 64 = 8 2 وكذلك ...
نقول أن العدد 64 هو عدد نسبي من النوع المسمى المكعب الكامل ، أي من الأعداد التي يمكن وضعها على الصورة ب3 64 = 4 3 .
والجذر التكعيبي للعدد 64 هو عدد نسبي = 4 .
الأعداد 8 ، 27 ، 64 ، 125 ، ... ، 1000 .... هي أعداد نسبية من النوع المسمى المكعبات الكاملة وجذورها التكعيبية تكون دائماً أعداد نسبية ولكن ، هل غالبية الأعداد النسبية هي من نوع الأعداد المكعبة الكاملة ؟؟
وماذا عن الجذور التكعيبية للأعداد النسبية التي ليست مكعبات ...
.... | ، | ، | ، |
مهما بحثنا لن نجد عدداً نسبياً مكعبه هو العدد 2 ، أو 6 ، أو 9 ...
لقد اتفق علماء الرياضيات على أن تُسمى مثل هذه الأعداد بـِ "الأعداد غير النسبية".
خامساً : قيمة العدد النسبي
كثيراً ما تصادف في المسائل الرياضية معطيات تُستخدم فيها الأعداد غير النسبية من مثل طول قطعة مستقيمة يساوي من السنتيمترات ! فماذا يعني هذا ؟؟؟
أنت تعرف الآن أن العدد هو عدد غير نسبي .
كيف يمكن أن نحدد القيمة التقريبية لمثل هذا العدد ؟؟
لاحظ أن العدد 15 يقع بين مربعين كاملين 9 ، 16 ومن المنطقي أن يقع العدد بين العددين ، ، أي بين العددين 3 ، 4 وعليه 3 >< 4 .
باستخدام الآلة الحاسبة يمكنك تجريب إيجاد قيم تقريبية للعدد غير النسبي مقربة إلى 3 ، 4 ، 5 أو 6 مراتب عشرية .
في الحقيقة ، أن هذه العملية لا تنتهي ويمكن أن تستمر دون أن تصل إلى عدد نسبي مربعه يساوي تماماً العدد 15 .
أمثلة :
= 3.87 مقرباً إلى مرتبتين (منزلتين) عشريتين . | ||
= 1.414 مقرباً إلى 3 مراتب (منازل) عشرية . | ||
يقع بين المربعين الكاملين 4 ، 9 . | العدد | |
يقع بين المربعين الكاملين 9 ، 16 . | العدد | |
يقع بين المربعين الكاملين 16 ، 25 . | العدد | |
يقع بين المربعين الكاملين 25 ، 36 ... وهكذا . | العدد |
ماذا تُلاحظ ... ماذا تستنتج ؟؟؟
قيمة أي عدد غير نسبي تقع بين عددين نسبيين .
سادساً :
| ؟ | ما هو مربع العدد | |
؟ | وما مربع العدد | |
| ؟ | ما هو مكعب العدد | |
؟ | وما هو مكعب العدد | |
هو 7 . | بالتعريف ، مربع العدد | |
هو 11 . | ومكعب العدد |
الخُلاصة : [/b:8e6
لا يوجد حالياً أي تعليق