المجموعات في الرياضيات

تعاريف:
N هي مجموعة الأعداد : 0 ، 1 ، 2 ، 3 ...
و تسمى مجموعة الأعداد الطبيعية .
Z هي مجموعة الأعداد التي تشمل إضافةً إلى الأعداد السابقة الأعداد : -1 ، -2 ، -3 ...
و تسمى مجموعة الأعداد النسبية .
D هي مجموعة الأعداد التي تشمل إضافةً إلى الأعداد السابقة ، الأعداد التي تكتب بالصيغة ، بحيث a عدد نسبي كامل و n عدد طبيعي كامل ، مثل : 48,9 ، 54,689
و تسمى مجموعة الأعداد العشرية .
Q هي مجموعة الأعداد التي تشمل إضافة إلى كل الأعداد السابقة الأعداد : (3/2, 10/3, 562/2158 ...)
و تسمى مجموعة الأعداد الحبرية .
R هي مجموعة الأعداد التي تشمل إضافة إلى كل الأعداد السابقة ، الأعداد : , 2 ...
و تسمى مجموعة الأعداد الحقيقية .
C هي مجموعة الأعداد التي تشمل إضافة إلى كل الأعداد السابقة ، الأعداد التخيلية مثل: i بحيث i² = -1 .
و تسمى مجموعة الأعداد المركبة .





توضيح بياني:





و لدينا إذن العلاقة التالية :



َظَرِيَّة المَجمُوعات: طريقة لحل مسائل الرياضيات والمنطق (أو الاستنباط). ودراستنا لنظرية المجموعات تزيد فهمنا لعلم الحساب وللرياضيات ككل. وتبحث نظرية المجموعات في صفات وعلاقات المجموعات. وتعد نظرية المجموعات من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات. والمجموعة تجمُّع من الأشياء المحسوسة أو الأفكار. فمثلاً كل صنف هو مجموعة من الأشياء المحسوسة، بينما مواد الدستور هي مجموعة من الأفكار. وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. يستخدم علماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. والمجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين ؟؟. ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض. أنواع المجموعات: وهناك عشرة أنواع رئيسية من المجموعات هي: 1 ـ المجموعات المنتهية 2 ـ المجموعات غير المنتهية. 3 ـ المجموعات الخالية 4 ـ المجموعات وحيدة العنصر. 5 ـ المجموعات المتكافئة 6 ـ المجموعات المتساوية. 7 ـ المجموعات المتداخلية 8 ـ المجموعات المنفصلة. 9 ـ المجموعات الشاملة 10 ـ المجموعات الجزئية. المجموعات المنتهية: هي التي لها عدد محدود من العناصر. المجموعات غير المنتهية: هي التي يكون عدد عناصرها غير محدود. المجموعات الخالية: هي التي لا تحتحوي على أي عناصر. المجموعات وحيدة العنصر: هي التي تحوي عنصراً واحداً فقط. المجموعات المتكافئة: هي المجموعات التي لها نفس العدد من العناصر. المجموعات المتساوية: هي التي لها نفس العناصر. المجموعات المتداخلة: هي التي لها عناصر مشتركة فيما بينها. المجموعات المنفصلة: هي التي لا تحتوي على أي عناصر مشتركة فيما بينها. المجموعات الشاملة: هي المجموعات التي تحتوي على جميع العناصر تحت الاختبار في وقت ومسألة معينين. المجموعات الجزئية: هي المتضمَّنة في مجموعات أخرى. العمليات على المجموعات هناك ثلاث عمليات أساسية تستخدم في حل المسائل المتعلقة بالمجموعات: 1 ـ الاتحاد 2 ـ التقاطع 3 ـ المُتمِّمة. اتحاد مجموعتين: هو المجموعة التي تتألف عناصرها من عناصر كلتا المجموعتين. تقاطع مجموعتين: هو المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين. مُتمِّمة مجموعة: هي مجموعة العناصر في س التي لا توجد في المجموعة ص. فإذا كانت ص أي مجموعة جزئية من س فإن متممة صَ ص هي عناصر س التي لا توجد في ص رمز الاحتواء .



مجموعة الأعداد الحقيقية

تنقسم إلى مجموعتين:

- 1مجموعة الأعداد الغير نسبية
وهي إما:
* حبور عشرية (غير منتهية) مثل 1,434343434343..
* أعداد غير مربعة تحت الجذر التربعى مثل جذر 3 ، جذر5 ، وهكذا..
* أعداد غير مكعبة تحت الجذر التكعيبى مثل الجذر التكعيبى للعدد 4 أو للعدد 9 وهكذا..



- 2مجموعة الأعداد النسبية
هو كل عدد يمكن وضعه على صوره (أ/ب) حيث أ و ب أعداد صحيحة
وب لا تساوى صفر
ن={أ/ب: أ وب تنتمى الى ص و ب لاتساوى صفر)



مجموعة الأعداد النسبية تنقسم أيضاً إلى قسمين:
- 1مجموعة الأعداد الصحيحة (ص)
وهي :
{ .... 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، -3 ، - 4 ...}
فهي إذاً تشمل الأعداد الموجبة والسالبة والصفر.

- 2مجموعة الأعداد الغير صحيحة
مثل: { 3,5 ، 44,2 ... }

لا حظوا معي..
مجموعة الأعداد الصحيحة مقسمة أيضاً إلى مجموعتين:
1- مجموعة الأعداد السالبة :
{ -1 ، -2 ، -3 ، -4 .......}



2- مجموعة الأعداد الكلية:
{ 0 ، 1 ، 2 ، 3 .......}

نأتي أخيراً إلى آخر مجموعة
هي جزء من مجموعة الأعداد الكلية..
ألا وهي:

مجموعة الأعداد الطبيعية:
{ 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ....}

و نظرية المجموعات هي النظرية التي تصف المجموعات الرياضية المؤلفة من كائنات رياضية مجردة و العمليات المطبقة عليها ، و تشكل احدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة .
المجموعة
المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو تكون فارغة
و قد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية
العمليات على المجموعات المنتهية
التقاطع
تقاطع مجموعتين منتهيتين هو مجموعة منتهية عناصرها تنتمي للمجموعتين معا
و يقابلها في المنطق عملية العطف ( الرابط و الذي رمزه 8 )
الإتحاد Unions
إتحاد مجموعتين هو مجموعة عناصرها هي عناصر المجموعتين معا
و يقابلها في المنطق الرابط ( و ) and أي عملية الفصل
الفرق



فرق مجموعتين هو مجموعة عناصرها هي عناصر المجموعة الأولى التي لا تنتمي إلى المجموعة التانية

مثال :
اذا كانت
أ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ،
ب = { 1, 3, 5, 7, 9, 10 }
فان
أ- ب = {2, 4, 6}
ب-أ = { 9 ، 10 }